Как найти длину круга площадь. Как найти длину окружности, зная ее радиус

Радиус круга – это расстояние от центра круга до любой точки, которая лежит на внешней окружности круга. Простейший способ найти радиус – разделить диаметр пополам.

Находить неизвестный радиус можно с помощью ее геометрических параметров: длины, площади и т. д., а также с помощью известных трёх точек, которые не располагаются на единственной прямой, задают окружность и имеют свои координаты.


Как известно, радиус – это любое расстояние от центральной точки до точек, располагающихся непосредственно на окружности, через центр фигуры прокладывается также диаметр. Отталкиваясь от двух определений, найти радиус окружности достаточно просто следующим методом.

Итак, чтобы найти радиус окружности с помощью известного диаметра, необходимо применить следующую формулу: r = D\2. В данном выражении r обозначает неизвестный радиус (например, в сантиметрах), а D – диаметр. В случае, когда диаметр окружности составляет число 64, радиус будет равняться 32.

Найти радиус окружности достаточно легко зная длину окружности – то есть, длину всех составляющих ее точек, расположенных на равном расстоянии от центра фигуры. Для нахождения искомой величины, необходимо применить следующую формулу: C = 2πr.

В данной формуле за С берётся длина окружности, π – это постоянная «пи», которая в школьных задачах приравнивается значению в 3.14, а r – искомый радиус. Так, выразив из этой формулы r, найти радиус можно следующим образом: r = C\2π.

Очевидно, что при большей длине окружности, при значительном удалении точек, радиус окружности больше.

Если в задаче известна лишь площадь окружности – то есть, всё пространство, покрываемое окружностью, то найти радиус окружности можно с помощью следующей формулы: A = πr2.

В данной формуле за А берётся площадь окружности, π – это постоянная «пи», со значением 3.14, а r – искомый радиус. Выражая из приведённой формулы искомую величину, получаем, что найти радиус можно так: r = √(А\π).

Так, используя эту формулу, при известной площади в 21 см2 радиус окружности будет составлять 8.12 см.

Существует доказанная теорема, что через данные три точки, которые не располагаются по условиям на одной прямой, возможно провести лишь одну окружность, поэтому можно найти радиус окружности, заданной тремя точками. Все три точки должны иметь свои координаты.

Центр дополнительной окружности, которую можно построить для большей наглядности вычисляется с помощью упомянутых трёх точек следующим образом. Так, центр такой фигуры находится внутри треугольника, его стороны вычисляются при помощи формулы: расстояние между двумя точками; она указана на изображении.

После того, как все стороны треугольника найдены, необходимо найти радиус описанной окружности, который вычисляется r = (abc)/√((a + b + c)+ (b + c — a)+ (c + a — b)+ (a + b — c)), где а, b, с – это стороны треугольника, а r – искомый радиус круга.

Таким образом, нахождение радиуса сводится к правильному исчислению всех математических операций.

Чтобы найти радиус окружности, желательно:

  • определить, какой из представленных в тексте методов наиболее подходит к ситуации, описываемой в задаче;
  • при использовании последнего метода выполнять действие лучше всего последовательно и не торопясь, потому что риск ошибиться здесь наиболее велик;
  • рисовать наглядные рисунки, соответствующие условиям задачи, т. к. иногда это поможет сыграть хорошую службу при решении задачи (не только на нахождении неизвестных окружности).

2 методика:Вычисление радиуса по основным величинамВычисление радиуса по трем точкам на окружности

Радиус круга - отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Значение радиуса используется для вычисления длины окружности, площади круга, диаметра окружности, а также при нахождении объема трехмерных фигур, например, объема цилиндра. Радиус круга равен d/2, где d – диаметр круга; C/2π, где C – длина окружности; √(A/π), где A – площадь круга.

Шаги

Метод 1 из 2: Вычисление радиуса по основным величинам

Определение основных величин

Вычисление радиуса по формулам



Метод 2 из 2: Вычисление радиуса по трем точкам на окружности



  1. 1 Если вам не даны значения диаметра, длины окружности или площади круга, вы можете вычислить радиус круга по координатам трех точек на окружности (назовем их P1, P2 и P3). Это делается при помощи одной из двух формул, приведенных ниже.
    • Формулы для нахождения радиуса круга по трем точкам, лежащем на окружности:
      • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)), где a, b, c – стороны треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3.
      • a/(2sin(θ)), где a –сторона треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3; θ – противолежащий угол.
    • Во второй формуле вам нужно знать только координаты двух точек и угол; если угол не дан, вам понадобятся координаты всех трех точек.


  2. 2 Найдите расстояние между каждыми двумя точками, чтобы определить значения сторон треугольника. Для этого подставьте известные вам координаты в формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), где x1,y1 - координаты первой точки; x2,y2 - координаты второй точки.
    • Пример. На окружности круга лежат точки с координатами (3,0), (3,8) и (-1, 4). Найдите расстояние между точками (3,8) и (-1,4) по следующей формуле (то есть вы находите сторону треугольника):
      • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
      • √((-1 - 3)2 + (4 - 8)2)
      • √((-4)2 + (-4)2)
      • √(16 + 16) = √(32) = 5,66


  3. 3 Найдите расстояние между двумя другими парами точек (то есть найдите две другие стороны треугольника) при помощи процесса, описанного в предыдущем шаге. Подставьте известные вам координаты в ту же формулу: Расстояние = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2).
    • В нашем примере вам необходимо найти расстояние между точками (3,0) и (3,8) и между точками (3,0) и (-1, 4). В первой паре меняется только координата «у», поэтому расстояние равно 8. Расстояние между второй парой точек вычислите следующим образом:
      • √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
      • √((-1 - 3)2 + (4 - 0)2)
      • √((-4)2 + (4)2)
      • √(16 + 16) = √(32) = 5,66. Таким образом, стороны треугольника равны 5,66; 8; 5,66.


  4. 4 Воспользуйтесь формулой (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)) для вычисления радиуса круга (a, b, c – стороны треугольника). Для этого подставьте в эту формулу найденные вами стороны треугольника.
    • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66.
      • (abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))
      • ((5,66)(8)(5,66))/(√(5,66 + 8 + 5,66)(8 + 5,66 – 5,66)(5,66 + 5,66 - 8)(5,66 + 8 – 5,66))
      • (256,28)/(√(19,32)(8)(3,32)(8))
      • (256,28)/(√(4105,11))
      • (256,28)/(64,07) = 4. Радиус нашего круга равен 4. Этот ответ верный, потому что сторона треугольника, равная 8, проходит через центр круга, то есть это его диаметр. Так как радиус равен половине диаметра, то 8/2 = 4.


  5. 5 Теперь найдем угол, противолежащий найденной стороне треугольника, по формуле (теорема косинусов): c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ), где a, b, c – стороны треугольника, θ - угол между сторонами а и b, противолежащий стороне с. Найдя противолежащий угол, вы можете вычислить радиус по формуле: a/(2sin(θ))).
    • В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66. Найдем угол, противолежащий первой стороне.
      • c2 = a2 + b2 - 2abCos(θ)
      • 5,662 = 5,662 + 82 - 2(5,66)(8)Cos(θ)
      • 32,04 = 32,04 + 64 – 90,56Cos(θ)
      • -64 = - 90,56Cos(θ)
      • 0.707 = Cos(θ)
      • θ = 45o (для нахождения угла необходимо вычислить arcos).


  6. 6 Подставьте известные вам значения стороны треугольника и противолежащего угла в формулу а/(2sin(θ)), чтобы найти радиус круга. Эта формула выведена из теоремы синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к ее противолежащему углу равно удвоенному радиусу (или диаметру) окружности, описанной вокруг треугольника, то есть а/sin(θ) = 2r.
    • В нашем примере сторона равна 5,66, а противолежащий угол равен 45o. Подставьте эти значения в формулу.
      • a/(2sin(θ))
      • 5,66/(2sin(45o))
      • 5,66/ 2(0,707)
      • 5,66/1,414 = 4. Обратите внимание, что вы получили такое же значение радиуса, как и при использовании формулы ((abc)/(√(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c))).
  • Пользуйтесь калькулятором для проверки ответа.
  • Для получения более точных результатов на калькуляторе используйте клавишу π.

Окружность представляет собой замкнутую кривую на плоскости, у которой все точки в равной степени удалены от единого центра окружности . Под ом окружности понимается отрезок, который объединяет между собой центр окружности с любой точкой данной замкнутой кривой. Зная лишь один радиус окружности , можно с легкостью найти ее длину .

Вам понадобится

  • Величина радиуса окружности, диаметра, значение константы?.

Инструкция

Сначала надо проанализировать исходные данные к задаче. Дело в том, что ее условии не может быть явно сказано, какова радиуса окружности . Вместо этого в задаче может быть дана длина диаметра окружности . Диаметр окружности - отрезок, который объединяет между собой две противоположные точки окружности , проходя через ее центр. Проанализировав определения окружности и диаметра, можно сказать, что длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Теперь можно принять радиус окружности равным R. Тогда для нахождения длины окружности необходимо воспользоваться формулой:
L = 2?R = ?D, где L - длина окружности , D - диаметр окружности , который всегда в 2 раза больше радиуса.

Можно рассмотреть пример применения данной формулы: дана окружность с диаметром 8 см. Требуется найти длину окружности .
Решение: L = 2*3,14*4 = 3,14*8 = 25,12 см
Ответ: длина окружности с диаметром 8 см равна 25,12 см

Обратите внимание

Окружность можно вписать в многоугольник, либо описать вокруг него. При этом, если окружность вписана, то она в точках касания со сторонами многоугольника будет делить их пополам. Чтобы узнать радиус вписанной окружности, нужно поделить площадь многоугольника на половину его периметра:
R = S/p.
Если окружность описана вокруг треугольника, то ее радиус находится по следующей формуле:
R = a*b*c/4S, где a, b, c - это стороны данного треугольника, S - площадь треугольника, вокруг которого описана окружность.
Если требуется описать окружность вокруг четырехугольника, то это можно будет сделать при соблюдении двух условий:
Четырехугольник должен быть выпуклым.
В сумме противоположные углы четырехугольника должны составлять 180°

Полезный совет

Помимо традиционного штангенциркуля, для начертания окружности можно применять и трафареты. В современных трафаретах включены окружность разных диаметров. Данные трафареты можно приобрести в любом магазине канцтоваров.